Е. Синицын.  О.Синицына.

Сознание работает по математическим законам. Т.1.

Глава 2.3. Гипотезы и цели  учителя в учебном процессе.

Эта глава основная для всей концепции – сознание работает по математическим законам, развивая эту концепцию мы применяем мощный метод аналогий, используемый великими математиками. Кеплер писал: «И я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать в Геометрии» (Цит. 17, стр. 34). Эйлер используя аналогию, сделал открытие при вычислении суммы ряда чисел, обратных квадратам. Мы изучаем взаимодействие сознания учителя и учеников с помощью математических методов, без которых нельзя разобраться в тонкостях этих взаимоотношений. Если концепция книги неверна, то все наши построения теряют смысл, но если верна, то математика погружается в основы самой сокровенной природы человека. И вновь в океане психических процессов мы находим островок математики, их описывающей. Насыщенные энергией актуальные, доминантные в данной ситуации структуры S(t) представляют собой полезные сигналы m_исс(t), а неактуальные ИСС выполняют роль отвлекающих, тормозящих, маскирующих развитие актуальных ИСС, беря на себя роль помех n_исс(t). Необходимы методы, выделяющие актуальные ИСС в среде мешающих структур-помех, представляющие ложную информацию, маскирующую истинную. Задача борьбы с помехами в материальной природе вещей давно решена в статистической теории связи. Сотни книг написаны на тему выделения и обнаружения полезных сигналов на фоне помех. В них мы находим гигантскую сушу среди океана знаний из другой области науки. Появляется ассоциация между процедурами обнаружения самолета на экране радиолокатора и процедурами обнаружения и насыщения в сознание ученика учебной информации. Только на поверхностный взгляд ассоциация между этими событиями где-то далеко брезжит за горизонтом. Оператор на экране радара анализирует яркое светлое пятно, которое он интерпретирует в виде четырех возможных вариантов появления этого пятна. Два различных по своей природе объекта в небе, один – самолет, второй – облако дают возможность появления четырех случайных версий в сознании оператора.

Одной из этих версий наблюдатель отдает предпочтение. Из четырех вероятных решений, два верных и два неверных. Первая версия: оператор правильно идентифицирует яркое пятно на экране, вызванное летящим самолетом. Обозначим это событие через С_с, ему есть противоположное – в небе плывет облако С_об, оно также регистрируется на радаре. Двум верным решениям оператора противостоят два ошибочных решения: пропуск сигнала от самолета – оператор на экране видит яркое пятно от летящего самолета, но он ошибается, полагая, что светящееся пятно вызвано облаком в небе. Такую ошибку в радиолокации называют ошибкой второго рода. Существует второй ошибочный вариант: оператор принимает облако за самолет, в его сознании ложная тревога, в радиолокации ее называют ошибкой первого рода.

По аналогии с радиолокацией в учебном процессе в сознании учителя и учеников есть четыре версии. Еще аналогия. На соревновании по плаванию тренер считает успехом, его ученик попадет в тройку лучших пловцов, а крупная неудача, если этот ученик окажется в тройке, замыкающей участвующих в соревновании. Перед стартом в сознании тренера есть две альтернативные гипотезы. Эти гипотезы выступают как два полюса, одна – соответствует явному успеху, вторая – явной неудаче. Перед сражением полководец рассчитывает одержать полную победу, разгромив вражескую армию, но он не может не знать, что его противник желает того же. Поэтому у каждого полководца в сознании присутствуют две версии-гипотезы: явного успеха и явной неудачи.

Перейдем к изучению сознания учителя. Учитель анализирует процессы в своем сознании подобно тому, как оператор радара анализирует яркое пятно на экране. Первая версия учителя – гипотеза H₁ соответствует реальному успеху, обозначим его символом цели Ц₁. Учитель не ошибся, ученики во время урока поняли 70% полезной информации от запланированной структуры S_к(t_к), желаемого события во всяком учебном процессе. Остальная часть 30% нужной информации пропала, она сверх меры насыщена пробелами и не запечатлена в сознании учеников. Получим пару Н₁Ц₁ реального успеха. При двух совместных событиях, они связаны друг с другом в неразрывном психолого-математическом единстве. Есть ось гипотез Н₁, по которой перемещается процентные доли этой гипотезы: 60%, 70% или 80% усвоенной информации, и доли неусвоенной информация равна 40%, 30%-ти или 20%-ти от темы урока или годовой программы. Успехом можно считать и 20% усвоенной информации, а неудачей 60% учебной информации.

На уроке информация поступает в сознание учеников непрерывно, даже когда есть паузы, то мысли у учителя и учеников наполняют его сознание. 70% усвоенной учениками информации – это запечатленные в сознании ученика актуальные ИСС. Остальные 30% информации – это неактуальные ИСС, это пробелы в знаниях. Из одного события, когда нет ошибки учителя, неизбежно следует второе. Выдвигая гипотезу Н₁ учитель предполагает различные доли успеха, они малы при сложной теме и малом времени на ее изучение. Вторая версия, гипотеза H₂ в реальности также истинная – учитель  на уроке прогнозирует свою неудачу: 70% нужной информации структуры S_к(t_к) это сумма всех пробелов в знаниях, равная ΔS_∑(t_к). Доля в 30% учебной информации оказывается в сознании и затем в памяти. Поэтому событие запланированной учителем неудачи урока обозначим через цель Ц₂.

Общее пространство элементарных событий W разделим на четыре части: две области верных решений W₁ и W₂, две области ошибочных решений W₃ и W₄. В символах получим W₁ Ì W, W₂ Ì W, W₃ Ì W, W₄ Ì W.  В областях W₁ и W₂ фигурируют две пары совместных противоположно зависимых событий, отражающих реальность Н₁Ц₁ и Н₂Ц₂, Н₁Ц₁ Є W₁ и Н₂Ц₂ Є W₂. Упростим задачу формализации психики и примем, что для учителя важны два крайних результата, оба имеют ценность, промежуточные результаты учителя не интересуют. Это напоминает ситуацию риска: или полная победа, или полное поражение. Ситуация типична для альпинизма. Альпинист, удовлетворяя собственное честолюбие и свое мужество, покоряет высочайший пик в Гималаях, но он рискует погибнуть. Многие альпинисты рискуют, а риску сопутствуют трагедии. Ученый мечтает сделать великое открытие, жертвует годами, своим благополучием, надеясь на успех, но в его сознании не умолкает опасность, что его желание может не осуществиться.

Так как две пары H₁Ц₁ и H₂Ц₂ несовместны, одно исключает другое, то есть «да» или «нет». Подброшенный вверх шестигранный кубик  с вероятностью Р=1 показывает одну цифру из шести. В двух пространствах правильных решений удачи W₁ и неудачи W₂ вероятность совершения хотя бы одной из пар H₁Ц₁ и H₂Ц₂ равна 1, откуда Р(H₁Ц₁) + Р(H₂Ц₂) = 1, как выпадение орла или решки при бросании монеты. Если в процессе обучения реализуется гипотеза H₁Ц₁, то не реализуется пара H₂Ц₂. Аналогично рассматриваем альтернативные события ошибочных решений H₂Ц₁ и H₁Ц₂. Такая модель психических процессов упрощает их математическое представление. Совокупность событий Ц_i есть цели и результаты учебного процесса, они зависят от намерений и мастерства учителя и методики обучения. 

Во многих областях науки для упрощения исследований, разграничивают области различных процессов, отдельно изучая линейные процессы и нелинейные процессы или отдельно стационарные процессы или нестационарные процессы. Всматриваясь в свое сознание, учитель сосредоточенно изучает ситуацию на уроке. Педагогам, как и всем людям, свойственно ошибаться. Природа описанных версий учебного процесса случайна. Учитель мысленно «смотрит» в мир через свое вероятностное смысловое окно p(m). Это окно открыто в мир с учетом фильтрации его сознания и его бессознательного. В сознании учителя на уроке, согласно динамическому принципу, отражаются разнообразные ситуации. Они происходят в реальном времени и подвергаются анализу учителя. Этот процесс подобен тому, как оператор радиолокационной станции в реальном времени анализирует случайную природу отражений объектов в небе, взглядываясь в перемену обстановки на экране. Оператор действует согласно тщательно разработанной учеными теории и своему опыту. Мы создаем новую теорию психических сигналов и помех, отражающую психические закономерности учебного процесса.

Свой анализ гипотез и целей начнем с темы урока «Исследование тригонометрической функции sin x». Исходная позиция: перед уроком в сознании группы учеников запечатлена структура S₁(t₁), развитием которой занят учитель. По окончании занятия в сознании и памяти учеников должна появиться завершенная структура S_к(t_к), обусловленная суммарным структурным приращением ΔS_к(t_к), S_к(t_к) = S₁(t₁) + ΔS_к(t_к). Еще до начала урока учитель из-за вездесущей неопределенности допускает две несовместимые гипотезы H₁ и H₂. Допустим, учитель остановил свой выбор на неоднократно проверенной им методике А_j. Событие Ц₁ означает, что тема «Исследование тригонометрической функции sin x» в своей большей 70%-ти части попала в сознание учеников и затем в их кратковременную память. Оставшаяся 30%-ая часть данной учебной темы это множество в сознании учеников пробелов, касающихся части свойств функции sin x, одна из них: каким значениям х соответствуют максимумы и минимумы этой функции. На практике эти пробелы исчезают после домашнего задания и решения задач на уроке.

Событие Ц₂ означает неудачу учителя, так как завершающая структура S_к(t_к) с большим количеством пробелов (70%) была запечатлена в кратковременной памяти учеников, а полностью в сознание учеников попало лишь 30%. В памяти учеников оказалась лишь отрывочная информация, которую они записали в тетрадке в виде ряда промежуточных структур S_j(t_j). Объединение этих частей требует времени и дополнительного развития в виде структурных приращений ΔS_j(t_к) для получения запланированной полной структуры S_к(t_к). Этот факт дополнительных усилий можно записать в виде S_к(t_к) = S_j(t_j) + ∑ΔS_j(t_к). Событие Ц₂ обусловлено неэффективной методикой обучения А_j, не оправдавшей усилия и намерения учителя. Задача: найти количественное решение удачи и неудачи учителя, дать анализ причин, эффективности и неэффективности методики А_j и выяснить, какую роль в этом процессе играет творческий потенциал учащихся. Педагогическая трактовка вероятностей Р(Н₁Ц₁) и Р(Н₂Ц₂) такова: при одной и той же программы урока, если школьный класс состоит из одаренных учеников, то при гипотезе Н₁ вероятность события удачи Ц₁ значительна, допустим 0.7, если класс слабый, то вероятность Р(Н₁Ц₁) получить на выходе удачу мала 0.2-03. В конце урока мы можем получить удачу или неудачу. Допустим, учитель ставит перед собой простую цель: 60% успеха, рассчитывая не только на сильных учеников, но также и на троечников. Учитель пробует сложнее задачу: 70% успеха, третья цель сверхзадача 80%-ный успех. На языке статистической теории связи выбор порогового значения усвоения информации в теории обнаружения сигнала на фоне помех называется выбором порогового отношения правдоподобия λ_п (37). Учитель как в радиолокации оператор, рискует, выбирая различный уровень  значения λ_п, интуитивно значение λ_п согласовывая с методикой А_j, надеясь на осуществления своих прогнозов, гипотезы Н_i,. Однако в силу случайности усвоения знаний он рискует не достигнуть своей цели Ц₁.

Наш дальнейший анализ показать принципы идеологии и преимущества психолого-математической модели. Тесная связь гипотезы Н₁  и цели Ц₁ дает потрясающий эффект взаимной психотерапии учителя и учеников, спасение их от стресса взаимного непонимания, раздражения и тревоги, так как при гипотезе Н₁ и цели Ц₁ учитель, и ученики попадают в сферу взаимной гармонии, без которой творческий процесс не мыслим. Гармонию между субъектами мы анализировали при взаимоотношениях между гениальными математиками. Рождается театр вдохновенной игры в познание неведомого, где у каждого актера своя роль. 

Допустим, класс, в котором учитель работает, наполнен одаренными учениками. Требование к результату обучения очень высокое. Вероятно цель урока Ц₁ будет достигнута. Стремление взойти на пик знаний, всегда опасно, потому что можно поскользнуться и получить неудачу, при которой лишь 30% нужной информации S_к(t_к) будет  воспринято учениками. Вывод: даже в неудаче есть частичный положительный результат. Полководец, потерпев поражение в сражении, сохранил треть армии. Имея две пары совместных событий Н₁Ц₁ и Н₂Ц₂, начинаем метод формализации учебного процесса. Конечный результат урока зависит от сложности учебного материала. Так как восприятие информации на уроке учеников есть случайное событие, для его оценки мы в дальнейшем применим вероятностный аппарат. С психологической точки зрения интересны причины того и другого результата. Кроме перечисленных двух версий и двух событий учебного процесса есть еще два варианта, две версии ошибок учителя, он предполагает одно, а получает прямо противоположное. Рассмотрим ошибочные решения учителя.   

Учитель, согласно гипотезе Н₂, предполагает неудачу – 70% учебной информации не запечатлелась на уроке в память учеников, но в действительность противоположна: 70% укрепилось  в сознании учеников, которые не думали о заблуждении учителя. Налицо рассогласование содержания сознаний учителя и учеников, это явление дисгармонии. Ученики опровергают заблуждение учителя, его «радар»-сознание не дал учителю верную оценку урока. Фактором удачи и неудачи на уроке является психологический тип учителя. Если учитель относится к мнительному типу, ориентированному на неудачу, то вероятность этой ошибки высока. Совместное событие Н₂Ц₁ квалифицируем как ошибку учителя первого рода. Эта ошибка опасный пропуск полезного сигнала (учебной информации) в сознании не учеников, а учителя. Назовем эту ошибку ложной неуверенностью учителя. Пессимизм у такого типа учителя более насыщен энергией, чем оптимизм. Усложним нашу модель, исследуя взаимоотношения гипотез и целей, где переплетаются неудачи с удачами. Для учителя его ученики есть объект, который отражается в его «радаре»-сознании. При совместных событиях Н₁Ц₁ восприятие учителем сознания учеников является согласованным и гармоничным. При ошибке первого рода Н₂Ц₁ учитель воспринимает сознание своих учеников в перевернутом виде, оба сознания несогласованны, явление дисгармонии. Учитель осознает большую неопределенность там, где существует большая определенность.

Два совместных события Н₁Ц₂ определяем как ошибку второго рода. Проанализируем две пары ошибочных решений учителя. Первая Н₂Ц₁и вторая Н₁Ц₂. Рассмотрим психологическую картину ошибки первого рода. В сознании учителя актуальные ИСС преобразуются в неактуальные. Он ошибочно на этом уроке находит преимущество мешающей информации над полезной. Сомнение  учителя в результате урока порождает ошибку первого рода – пропуск полезных сигналов m_исс, в реальности запечатленных в сознании учеников, цель урока Ц₁ была достигнута. Но учитель этому не поверил. Ошибка первого рода в сознании учителя привела к перевернутой картине содержания его сознания, выражающегося в пропуске 70% нужных учебных актуальных ИСС, запечатленных в сознании учеников. Происходит опасная несогласованность между иллюзией сознания учителя и реального содержания сознания учеников, явление дисгармонии, связанной с ситуацией неопределенности, которая порождает случайность событий. Смысл вероятности ошибки первого рода можно трактовать с помощью ассоциации. Оператор радиолокационной станции ошибочно принимает пятно на экране за лучи от облака, хотя в небе самолет. Желая дать знания ученикам на оценки «4» и «5», учитель рассчитывал на обнаружение интенсивного полезного сигнала m_исс, но эта цель для его иллюзии оказалась недоступной. На следующем уроке учитель делает опрос по предыдущей теме, убеждаясь в своей ошибке. Ученики хорошо справляются с вопросами учителя. По сравнению с парами событий Н₁Ц₁ и Н₂Ц₂ пара Н₂Ц₁ парадоксальна по своей сути.

Таков парадокс взаимоотношения сознания учителя и учеников. При ошибке первого рода – учитель уверен – он понял, что ученики тему не поняли, однако ученики уверены, что их учитель не понял, что они, его ученики тему поняли. В этой фразе присутствуют два редких явления: одно явление есть парадокс, второе явление – абсурд в духе Камю. Камю в своей книге «Бунтующий человек» пишет о непознаваемости человека человеком: «Все недоступные анализу иррациональные чувства также могут практически определяться, практически оцениваться, объединяться по своим последствиям в порядке умопостижения. Я могу уловить и пометить все их лики, дать очертания вселенной каждого чувства. Даже в сотый раз, увидев одного актера, я не стану утверждать, будто знаю его лично» (8, стр. 29).

В этой мысли Камю заменим «я», на «учитель», тогда эта цитата показывает отношение сознания между учениками и учителем. Оба до оттенков души не могут проникнуть в психику друг друга. Парадокс ложной уверенности учителя ассоциативно созвучен с известным изречением Сократа: «Я знаю, что ничего не знаю, но они не знают даже этого». Парадокс гармонирует с абсурдом. Сократ уверен в неполноте  своих знаний и невежестве толпы. Пропуск сигнала в сознании учителя, пробел в цепочке математических выводов, вследствие его ошибочного мнения, ограничивает вероятность достижения конечной цели, и это волнует учителя. Ошибка учителя первого рода, не примеряет его с реальностью, и он ищет из нее выход. И все же, положительный эффект урока налицо, ведь учитель на уроке математики добросовестно объяснял ученикам математические выкладки.

Чтобы понятна была суть ошибки первого рода у педагога, приведем простой пример. Опытный стрелок в тире стреляет в мишень. Цель попасть в десятку. Стрелок неожиданно разволновался, выстрелил неуверенно, рука дрожала, стрелок огорчился, решил, цель не поражена, он мастер и цель поражена.

Если фрагмент учебной информации – сигнал m_исс с определенной долей вероятности не миновал сознания одаренного ученика и оказался в его кратковременной памяти, то возникает естественная проблема оценка значение этой вероятности. При ошибке первого рода, происходит позитивное событие для группы учеников, одновременно оно негативно для учителя. В этом случае доля превышения энергии порогового значения Е(m_исс(t)) ≥ Е_п вполне достаточна для одаренных учеников, обладающих сильной интуицией. Они сами в состоянии развивать ИСС, опережая объяснение учителя, на их лицах мелькают улыбки, вторым зрением и слухом они воспринимают полезную информацию, не зная, что учитель ошибается, и что их учитель собой недоволен.

Теорема 2.4. О различии  положения на оси времени t  точек равновесия в сознании учителя и учеников при ошибке первого рода в деятельности учителя.

Утверждение. При ошибке первого рода происходит рассогласование сознания учителя и сознания учеников, которое выражается в несовпадении на оси t точек равновесия t_р1= ΔU₀/(q (Н₂Ц₁) + h (Н₂Ц₁)) и t_ру = ΔU₀/(q (Ц₁) + h (Ц₁)).                              

В выражении (2.1.19) рассматривается в различных ракурсах фундаментальное равенство U_р(t_р) = S_р(t_р), где  S(t_р) = h t_р + S₀ и  U_р(t_р)  = - q t_р + U₀. Учитывая эти выражения, получаем равенство h t_р + S₀ = - q t_р + U₀, из которого вытекает связь точки равновесия t_р с коэффициентом q и неопределенностью U₀, а также связь коэффициента h со структурой S₀. Из этих равенств получим t_р (q + h) = ΔU₀  и точку равновесия t_р = ΔU₀/(q + h), пока без учета гипотез и цели учителя. При ошибке первого рода имеем две точки равновесия: одну в сознании учителя t_р1 находим из равенства U_р1(t_р1) = S_р1(t_р1), вторую в сознании учеников t_ру находим из равенства U_ру(t_ру) = S_ру(t_ру). Определим различие в положении точек равновесия t_р1 и t_ру на временной оси t и как это различие объясняется эффективностью системы обучения.

       Парадокс учебного процесса: события Н₂Ц₁ отражает реальность сознания и одновременно его иллюзию. Парадокс пары Н₂Ц₁ подобен расселовскому пародоксу брадобрея. Из уравнений (2.1.20) и (2.1.21) находим выражение ошибки первого рода у пессимистичного учителя:

                                    S(Н₂Ц₁,t_р1) = h(Н₂Ц₁) t_р1 + S₀.                             

                                   U(Н₂Ц₁,t_р1) = - q(Н₂Ц₁)t_р1 + U₀.                                                                                            

Из выражений (2.3.1) и (2.3.2)  следует:

                                    t_р1= ΔU₀/(q (Н₂Ц₁) + h (Н₂Ц₁)).                                  

Аналогично получаем точку равновесия t_ру в  сознании учеников:

                                    t_ру = ΔU₀/(q (Ц₁) + h (Ц₁)).                                   

Учитывая, что множители в (2.3.3) и (2.3.4) связаны неравенством    q (Н₂Ц₁) + h (Н₂Ц₁) < q (Ц₁) + h (Ц₁), получим при t_ру < t_р1 смещение влево по оси t точки равновесия t_ру относительно точки равновесия t_р1.  Точка равновесия в сознании учителя t_р1 при его ошибке первого рода явно смещена в сторону большего времени t по сравнению с точкой равновесия в сознании учеников t_ур, t_р1 > t_ур. Это смещение отображает в подлинном смысле иллюзорность сознания учителя. Величина разности Δt_р = t_р1 - t_ру показывает  значительность или незначительность иллюзии учителя, если учитель разочарован своим результатом: лишь 30% учебной информации попало в сознание учеников, в реальности в сознании учеников оказалось 70% нужной информации. Величина разности Δt_р показывает меру иллюзии учителя эффективность или неэффективность методики А_j. Из величины Δt_р получаем различные варианты ошибки учителя первого рода 40% - 60%, 20% - 80% и  интереснейший случай 50% на 50%, в котором открывается точка равновесия t_р, когда иллюзия равна реальности. Смещение точек равновесия t_ру и t_р1 по оси t, как не удивительно, характеризует психологический тип учителя. Таков яркий пример истинного могущества математики, мы получаем скрытые факторы учебного процесса. Итак, теорема 2.4 доказана.

       Следствие 1. Оно заключается в определении отношения значений точек равновесия  β = t_р1 /t_ру > 1. Величина β показывает, как различие коэффициентов q(Н₂Ц₁) и (q(Ц₁), h (Ц₁) и h (Н₂Ц₁) влияет на положение точек равновесие на оси t. Отношение β = t_р1/t_ру подобно отношению сигнал/шум r в теории обнаружения полезных сигналов на фоне помех. Чем больше r, тем увереннее обнаруживается сигнал. У нас наоборот, чем больше отношение t_р1 /t_ру = (q (Н₂Ц₁) + h (Н₂Ц₁))/(q (Ц₁) + h (Ц₁)) > 1, тем менее эффективна методика А_j.                             

Возвращаемся вновь к гипотезе H₁, выдвигая эту гипотезу, напрасно учитель уверен, что 70% всех математических выражений были доступны и запечатлены в памяти учеников и, по его ошибочному мнению, лишь 30% информации потеряна, легла на чашу весов неактуальных ИСС. Это событие обозначаем Ц₂ как отсутствие реального выигрыша, его заменяет ложный несуществующий выигрыш, он в сознании учителя. В результате мы получаем такие два совместных события Н₁Ц₂. Психологический тип учителя этого ошибочного решения имеет под собой основу – излишний оптимизм с его надеждой высокого результата. Стрелок в тире думает, что попал в десятку, но, увы, его пуля пробила не центр мишени, а лишь третью полосу от края мишени. Подобная ошибка имеет источник в ложной уверенности, самонадеянности слабо рефлексирующего учителя прогнозировать целевое событие. Излишне оптимистичный учитель напрасно уверен в успехе. Большинство учеников на контрольной работе больше тройки не получат.   

Таким образом, мы образовали полную группу событий, представляющих ряд из четырех пар событий. Обозначим вероятности этих пар через Р(H₁Ц₁), Р(H₂Ц₂), Р(H₂Ц₁), Р(H₁Ц₂). Эти четыре пары связаны сложным образом, вероятность каждой влияет на вероятности других.

                     Р(H₁Ц₁)                       Р(H₂Ц₂)                    

                      Р(H₂Ц₁)                         Р(H₁Ц₂)                                  

Рис. 16. Схема взаимных связей между вероятностями

четырех пар совместных событий Р(H₁Ц₁),   Р(H₂Ц₂), Р(H₂Ц₁),  Р(H₁Ц₂).                  

Совокупность этих гипотез и целей наводит на идею о равновесии

их различных комбинаций. Исследовать закономерности этого процесса есть интереснейшая задача в процессе обучения. Хотя о ней до сих пор педагоги не задумывались. 

Глава 2.4. Применение теории обнаружения сигналов на фоне помех

для оптимизации  систем  обучения.

Теория статистических решений объясняет, как минимизировать различные уровни риска, полагаться на средний риск или минимизировать максимальные потери. Анализируя решения педагогов и их прогнозы с использованием математики, мы выходим на основной лейтмотив нашей книги. Любая ассоциация и аналогия есть мостик перехода от одних истин к другим, сравнивая тактику педагога с приемами в радиолокации, в которой существует критерий минимизации ошибок. Один из кардинальных вопросов в теории психологических типов: как происходит взаимодействие между всеми четырьмя психическими функциями. Юнг предполагает, что существует канал обмена, он его называет трансцендентной функцией. «Опасность эстетической тенденции состоит в переоценивании формальной или «художественной» ценности продуктов фантазии» (43). В этом смысле, – пишет Юнг, – возникает опасность желания, во что бы то ни стало использовать интеллектуальный анализ для того, чтобы понять символический характер продукта фантазии. Это нередко удел многих литературоведов, стремящихся проникнуть в мир символов другого автора с помощью рассудочных рассуждений. Юнг говорит о борьбе в психике человека двух тенденций, о приоритете то одной психической функции, то другой. Психическая энергия, необходимая для связи между мышлением и чувствами, выступает в качестве трансцен­дентной функции. Когда она отвлекается на чисто эстетические проблемы художественного выражения, человек начинает воспринимать мир не по интеллектуальной формуле, а при помощи чувства. «До известного момента нужно придерживаться обеих боковых троп, чтобы удовлетворять и эстетическим, и интеллектуальным запросам, какие бы из них ни преобладали в каждом отдельном случае. Однако опасность обеих этих троп стоит особо подчеркнуть, ибо после достижения определенной точки психического развития продукты бессознательного начи­нают значительно переоцениваться – именно потому, что прежде они вопиюще недооценивались. Это недооценивание есть одно из величайших препятствий при формулировании бессознательного материала» (43). Эта мысль Юнга крайне интересна, поскольку он открыто признает возможности осевой интерпретации психики, то есть осевого распределения психической энергии, акцентируя внимание на двух тропах или каналах, по которым могут распространяться эстетические и интеллектуальные запросы. Запросы возбуждают энергию. Это явление можно перенести на коллективные стандарты общества, посредством которых оценивается все индивидуальное. И коллективное массовое сознание всякий раз не считает что-то добродетельным или прекрасным, если это не «втискивается» в его коллективную схему. В нашей модели разделения психических процессов на полезные сигналы и помехи мы легко можем обнаружить математические отличия дифференцированных психических функций Юнга от архаических.

В процессе познания – классификация хорошая опора, создавая  классификацию психических параметров обучения. К первому классу К^с_исс относим актуальные доминантные ИСС, включающие в себя совокупность полезных сигналов m_исс(t), m_исс(t) Є К^с_исс, второй класс неактуальные ИСС, роль которых мы определяем как класс К^п_исс помех n_исс(t), n_исс(t) Є К^п_исс. Психические функции Юнга разделим на доминатные и архаические. Получим два класса полезных сигналов К^с_ф и и помех К^п_ф.

 Таким образом, полное множество различных психических типов сигналов и помех, разделим на два множества К^п_ф и К^с_исс. получим четыре класса сигналов и помех, см. рис 1.7.

                                              К^с_исс    К^п_исс

 Рис. 17.  Два класса полезных сигналов m_исс, m_ф и два класса помех n_исс, n_ф

 Принципиально различающиеся по своей психологической природе, каждый класс играет свою роль, поскольку они не только противоборствуют, но принимают участие в динамике и гармонизации процесса развития. Есть ли противоречия в психолого-математической модели?  Формализация психических процессов с помощью математических выражений погружает нас в глубины психических процессов, и, насыщая текст формулами и трудно постигаемой логикой и абстракциями, достоинство переходит в препятствие, ибо мышление неизбежно начинает уставать. Крайне полезна смена восприятия математического текста психологическими размышлениями. Есть простой метод смены впечатлений, смены математических абстракций на описание психических процессов, чтобы читатель меньше утомлялся.

Мы стремимся создать впечатление у читателя, что кибернетика и математика не нарушает привычные психологические конструкции,  облегчая и объясняя их с неожиданной стороны, стремясь к выявлению  тонкостей психических процессов, уходя от поверхностного взгляда. Разъясним общую проблему методической и психологической неудачи учителя, когда происходит нежелательное для него событие Ц₂. Первый весомый фактор – неуверенность на уроке учителя в способностях своих учеников при объяснении им сложного материала. Эта неуверенность может повлиять на неуверенность учеников, при сосредоточенном умственном усилии в ситуации сложного для восприятия доказательства теоремы. Вторая причина есть следствие бессознательного тревожного решения учителя о непродуктивности урока. Эта причина, по мнению учителя, обусловлена неоптимальностью педагогических приемов,   методики А_j. Назовем еще ряд причин незавершенного развития исходной структуры S₁(t₁) до планируемой S_к(t_к).

Опасность пробелов в знаниях сказывается на настоящей и на будущей неуверенности учителя в своих методических действиях. В этом тревожном состоянии учитель готов обвинять самого себя. Учитель торопился и не уделил тщательного внимания объяснению сущности и ряда численных значений периода функции sin x. Время урока подходит к концу, учитель не успел дать опорный графический ассоциативный образ исследования функции sin x на доске. Рисовать этот образ уже поздно, так как прозвенел звонок конца урока. Педагог по непредвиденным обстоятельствам неправильно распланировал время урока, и, вынужденно скомкав объяснение, ошибается, полагая, что ученики пропустили определенный математический фрагмент в цепи математических рассуждений. По мнению учителя, это сказалось на достижении конечной цели темы урока, 70% информации не усвоено. В учебном процессе возникает интересный парадокс уверенности индивидуума в собственной неуверенности.

В рамках структурно-осевого синтеза рассмотрим ряд параметров - факторов, влияющих на результат обучения. Если величина энергии Е(m_исс) в сознании ученика значительна по сравнению с величиной отвлекающего потока энергии Е(n_исс), Е(n_исс) < Е(m_исс), то величина отношения сигнал/шум оказывается больше необходимой пороговой величины r ≥ r_п ( где r_п – пороговое значение величины r). При условии Е(n_исс) < Е(m_исс) достигается цель урока Ц₁, если это условие не выполнено, то неудача – событие Ц₂. Есть еще объяснение рискующего учителя поймать журавля в небе – получить в конце урока не желательное событие Ц₁, а напротив огорчительное для него событие Ц₂. Учитель, иногда вынужденно, выставляет слишком высокое пороговое значение отношения правдоподобия λ_п, которое на языке привычных педагогических представлений означает запланированное усвоение темы урока всеми учениками на оценку 4 или 5.

Такое допускается, если планируется математическая олимпиада, и учителю нужно подготовить наиболее сильных учеников к ней, жертвуя знаниями и успеваемостью слабых. Используя аналогию при поиске  идентификации психики с теорией обнаружения полезных сигналов на фоне помех, применяем методы, принятые в классической теории связи. Опорой предложенной классификации является ассоциативная связь различной природы энергий: физической и психической, концентрация которых определяет значимые признаки, необходимые для классификаций. Распределение психической энергии определяет границу, отделяющую одно множество информационно-смысловых структур и психических функций от другого. В этой модели конфигурация и морфология информационно-смысловых структур – есть конфигурация и морфология полезных сигналов m_исс(t), класс актуальных в  ситуации С(t) и в данное время t структур К^с_исс, а все остальные ИСС, неактуальные в этой ситуации С(t) структуры ИСС есть помехи n_исс(t), мешающие развитию актуальной ИСС. Неактуальные структуры ИСС представляют наибольшую опасность для развития знания, поскольку отвлекают на себя психическую энергию. Подобно действует разнонаправленная роль доминирующих дифференцированных функций m_ф(t) и вытесненных ими архаических функций n_ф(t). В процессе развития ИСС в окрестности полезной ИСС существуют второстепенные по ценности ИСС.

Приведем такую метафору. Путник поднимается в гору по узкой и крутой тропинке, его окружает красота необычайная, заросли цветущего кустарника, деревья, стволы которых устремлены в небо и ласкающий шелест листьев при дуновении слабого ветерка рассеивает внимание. Стоит путнику заглядеться на окружающую красоту, он теряет энергию на мыслях, связанных с равновесием, вследствие чего его нога соскальзывает с тропы и он падает, получив ушибы.   

Объединим две терминологии: одна присуща впервые разрабатываемой психолого-математической модели личности и ее поведения, вторая – составляет «плоть и кровь» теории связи, изучающей неживые объекты. Эти две научные области преданно служат анализу противоборства противостоящих друг другу двух сил. И в психике, как и в неживой природе, всегда одна сила тормозит развитие, вторая – способствует согласованности и гармонии доминирующих психических функций с архаическими функциями. Для мыслительно-интуитивного типа развитие актуальной возбужденной ИСС происходит с участием мышления в виде логических операций и интуиции в виде фантазии, воображения, озарений и догадок.

В предложенной нами классификации полезных сигналов и помех возникает вопрос: как эффективно используя принципы и положения теории обнаружения полезных сигналов на фоне помех, разработать приемы в сфере обучения, чтобы сделать обучение более совершенным и уменьшить искажающее полезную информацию влияние разнообразных помех. В теории связи методы выделения слабых полезных сигналов на фоне превышающих их помех разработаны с особой тщательностью и основательностью. В технической сфере, в физике проблема выделения полезных сигналов на фоне интенсивных помех приобрела гигантское значение. В космосе ученые стремятся обнаруживать слабые сигналы от других цивилизаций, запуская в космос сложнейшие аппараты, которые должны пребывать в космосе длительное время.

Разделим наше исследование на два этапа. На первом этапе будем рассматривать взаимодействие между собой двух классов информационно-смысловых структур К^с_исс и К^п_исс. Актуальна задача выделения и обнаружения информационного полезного сигнала m_исс(t) на фоне помехи n_исс(t), или актуальных ИСС_m на фоне ее маскирующих и отвлекающих ИСС_n, применительно к общей динамике психических процессов. В сфере педагогики этот островок знания, подвергается нашему пристальному вниманию, но так, чтобы анализ психологических типов не ушел на задний план. Чтобы не делать резких скачков для читателя, начнем с известных формул в теории вероятности. Вероятность совместного появления двух событий А и B равна:

             P(A,B ) = P(A)P(B/A) =  P(B)P(A/B).                              

Событие A в процессе познания есть реализация Y случайного потока суммарной психической энергии Е. В – событие, заключающееся в наличие полезного сигнала (актуальной ИСС) в реализации Y. Расшифруем из каких составляющих состоит поток энергии, во-первых, в этом потоке есть в смеси с помехой n_исс(t) и n_ф(t), полезные сигналы  m_исс(t) и m_ф(t). Значительная доля энергии притекает к факторам творчества φ_тв. Если на актуальной ИСС отсутствует энергия, то реализация Y обусловлена только неактуальной ИСС. Событие В заключается в обязательном наличии  насыщенного энергией полезного сигнала m_исс(t) в реализации Y. Сигнал находится в смеси с помехой n_исс(t), интерферирующей с ним. Энергия помехи n_исс(t) маскирует энергию актуальных ИСС. В сознании учеников полезная энергия Е(m_исс(t)) отвлекается от темы урока и направлена не к формулам, а к информационно-смысловым структурам, не связанным с содержанием темы урока, эти структуры в данном случае являются помехами n_исс(t). В  этот неблагоприятный для обучения момент времени t соотношение энергий Е(m_исс(t)) ® 0 и Е (n_исс(t)) ≠ 0 не в пользу эффективного восприятия сигнала m_исс(t) учениками.

Перед нами задача – привлечь математический аппарат теории связи, чтобы  глубже и до тонкостей понять процесс усвоения знаний учениками на уроке математики. Допустим, что реализация Y случайного процесса потока психической энергии Е, поступающего в сознание ученика, представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала m_исс(t), и помехи n_исс(t). В аддитивной модели возможны три варианта комбинаций концентрации энергии смеси сигнала и помехи, образующей реализацию Y: 1) сигнал в реализации Y отсутствует, вся энергия отдана помехе, Е(m_исс(t)) = 0,  Е(n_исс(t)) ≠ 0. 2) сигнал в реализации Y присутствует Е(m_исс(t)) ≠0, но помеха в реализации Y отсутствует Е(n_исс(t)) = 0; 3) в реализации Y сигнал и помеха находятся в смеси Е(m_исс(t)) ≠ 0 и Е(n_исс(t)) ≠ 0. Принятые выше допущения упрощают наши дальнейшие построения островка математической модели психики индивидуума в изучении учебного процесса. Запишем:

                          Y (Е,t) = m_исс(Е,t) + n_исс(Е,t).                               

Известное выражение апостериорной вероятности совместных событий  А и В  в рамках принятой модели (3) имеет вид:

              P(Y, m_исс) = P(Y)P(m_исс/Y) = P(m_исс)P(Y/m_исс).              

Из равенства (2.4.3) легко получить значение условной апостериорной вероятности P(m_исс/Y) события, которое показывает, что целевая учебная ИСС была активизирована в сознании ученика с вероятностью:

                                           P(m_исс)P(Y/m_исс)                     

                        P(m_исс/Y) = ------------------------.                           

                                                     P(Y) 

И по аналогии получим вероятность P(n_исс/Y) такого события: ученик не понял учителя или отвлекся на иную информацию, которая замаскировала полезную структуру ИСС.

                                              P(n_исс)P(Y/n_исс)                     

                          P(n_исс/Y) = ------------------------.                          

                                                       P(Y) 

В этом случае в сознание ученика нужная информация m_исс не попала. Обозначим априорные вероятности наличия в реализации Y полезной информации m_исс через р_m, а априорную вероятность присутствия в реализации Y только помехи через q_n. Полная вероятность оценивает сумму двух взаимно исключающих событий; одно – определено наличием в реализации Y полезного сигнала и второе – противоположное первому событие его отсутствия. Мы рассматриваем два взаимно исключающих варианта: первый вариант – приток энергии Е к сигналу m_исс, отличен от 0, Е(m_исс ≠0; второй вариант – приток энергии к сигналу отсутствует, Е(m_исс) = 0; в этом случае реализация Y состоит только из помехи Е(n_исс) ≠ 0. Полная вероятность, одного из двух альтернативных событий, образующих полную группу событий, равна 1. Стрелок в тире или попал в десятку, или не попал. Априорная вероятность суммы двух противоположных событий равна единице  р_m + q_n = 1.                                 

Распределение психической энергии при восприятии ИСС сознанием ученика на уроке математики имеет полную группу событий, на вход его сознания в данный момент времени t поступает сигнал в смеси с помехой или только помеха. Вероятность того, что произойдет, хотя бы одно из двух возможных событий равна 1:

                       P(Е(m_исс, n_исс ) + P(Е(n_исс)) = 1.                              

После преобразований получаем выражение, связывающее условные вероятности событий, которые определяет важнейшее понятие в теории связи – абсолютное отношение правдоподобия (42):

                                           P(m_исс/Y)                     

                               λ_а     = --------------------.                                   

                                           1 - P(m_исс/Y)                                                  

Абсолютное отношение правдоподобия также можно записать в  виде, учитывающим априорные вероятности р_m и q_n. Максимальная неопределенность возникает в случае равенства  р_m и q_n. Полезна формула, связывающая абсолютное отношение правдоподобия  λ_п и условную вероятность наличия сигнала m_исс в реализации Y:  

                                                 р_m P(Y/m_исс)                     

                                          λ_а  = ----------------.                                       

                                                  q_n P(Y/n_исс)   

Откуда

                                                       λ_а   

                               P(m_исс/Y)  = ------------.                                   

                                                      1 + λ_а

При р_m = q_n получим выражение для отношения правдоподобия:

                                                      P(Y/m_исс)                     

                                             λ  = ----------------.                                                   

                                                       P(Y/n_исс)                     

Затем перейдем от вероятности Р к плотности вероятности р(Y).  Плотность вероятности р(Y) случайной реализации Y, которая состоит из аддитивной смеси полезного сигнала m_исс и помехи n_исс. Если реализация Y образована только помехой n_исс, то условная вероятность события Y= n_исс равна:

                                   P(Y/n_исс) =  р(Y) dY,                                              

где dY = dу₁ dу₂,…dу_1n  элемент микрообъема N – мерного пространства.

Аналогично, условная вероятность попадания выборки Y, в которой присутствует сигнал в микрообъеме dY, равна:

                                P(Y/m_исс) = р(Y/m_исс) dY,                            

где  р(Y/m_исс) – условная плотность вероятности реализация Y при смеси сигнала m_исс  и помехи n_исс.

Разделив выражения (2.4.12) и (2.4.11) одно на другое, получим отношение правдоподобия  через отношение плотностей вероятностей:

                                             р(Y/m_исс)

                                     λ = ------------.                                          

                                             р(Y)

Интерпретация полученного выражения отношения правдоподобия λ для нас крайне важна. Рассмотрим аналогию. Имеем два бруса: один железный с примесью свинца, другой только железный. Плотность их различна, чем больше примеси свинца в одном брусе, тем больше мы получим частное от деления плотности более тяжелого бруса на более легкий. Если примесь свинца очень мала, то наша оценка примеси свинца может быть ошибочна. А когда свинца в первом брусе значительно, то оценка наличия в брусе свинца более правдоподобна.

Сделаем обозначения: А_и(t) – идеальная методика обучения, А*(t) – оптимальная методика, А_j(t) – конкретная произвольная методика. Допустим, развитие информационно-смысловых структур S_i(t_i) протекает в сознании и бессознательном ученика во время обучения по одной из методик А_j(t). Как описано выше, учитель во время урока, двигаясь по запланированной траектории s от исходной или от промежуточной структуры S_ji (t_i), по методике А_j(t) непрерывно расширяет каждую промежуточную структуру S_ji (t_i) на величину приращения ΔS_{j(i + 1)}(t_i+1). Не всегда успех сопутствует учителю. Причиной являются два типичных варианта психических процессов, происходящих в памяти ученика относительно расширения структуры S_ji(t_i). Первый благоприятный вариант: структура S_ji(t_i), полностью на предыдущих занятиях прочно запечатлена в памяти ученика и готова к развитию. Второй вариант есть пробелы в исходной структуре S_ji(t_i), они заполнены мешающими структурами-помехами n_исс, тормозящими закрепление в сознании и памяти ученика новой информации. В обоих вариантах восприятия учеником структурного приращения ΔS_{j(i + 1)}(t_i+1) к структуре S_ji(t_i) восприятие сопровождается двумя видами помех: одна внешняя со стороны учителя n_исс1(t_i+1), поскольку учитель человек, а не автомат, и вторая – внутренняя, возникающая в сознании ученика n_исс2(t_i+1).

Оба вида помех, складываясь, образуют более интенсивную суммарную помеху n_исс(t_i+1) = n_исс1(t_i+1) + n_исс2(t_i+1). Концентрация энергии на сигнале и помехах связана с деятельностью факторов творчества φ_тв. Общий приток энергии Е разветвляется на два рукава Е_m и Е_n, так, что суммарная энергия равна Е_∑ = Е_m + Е_n. Углубляясь в классическую теорию обнаружения сигналов на фоне помех, привлекаем важный параметр в этой теории – отношение сигнал/шум r, определяемый частным r=Е_m/Е_n. Из классической теории связи известно: чем больше отношение сигнал/шум r, тем правдоподобнее обнаружение полезного сигнала m_исс в реализации Y. Кардинальный вопрос при обнаружении сигнала на фоне помех: как оценить достаточно значимое отношение сигнал/шум r=Е_m/Е_n, при котором полезный сигнал маловероятно пропустить, поскольку он «выпячивается» над помехой. Также важна оценка влияния значения r на ошибочные решения.

Чем больше доля психической энергии Е_m из общей суммарной энергии, притекающей к целевой структуре ИСС(m_исс), тем меньше притекает энергии к мешающей структуре ИСС(n_исс). В процессе познания и в процессе обучения происходит непрерывная борьба за психическую энергию между актуальными и неактуальными ИСС. Решает фактор сосредоточения энергии Е на психических функций Юнга и на факторах творчества φ_тв, участвующих в развитии структуры ИСС. Фактор сосредоточения энергии на структуре S отличает гения от обычного ученого.

Гений обладает способностью максимально концентрироваться на решаемой задаче, вследствие чего поток психической энергии, отвлекающейся от объекта цели, практически не существует. Одна из причин, благодаря которой Пушкин и Лермонтов быстро сочиняли свои поэмы и стихи, заключалась в том, что в моменты вдохновения они обладали сильнейшей концентрацией, как на смыслах поэтических строк, так и на ритме, и гармонии смыслов. Все отмечали влияние поэзии Байрона на современников и на многие будущие поколения. Но никто не обратил внимания на существенный фактор, который возвел силу его демонического протеста и отчаяния на пик, недоступный для других поэтов, благодаря высочайшей энергетической силе его поэзии. По силе внутренней энергии Байрон превосходил других поэтов, в частности, великого немецкого поэта Гете. Заражаемость массы поклонников поэзии Байрона отличалась небывалой энергетической силой его слов, парадоксов, противоречий смыслов и ритмов. Байрон виртуозно использовал это редчайшее свойство своей психики. В этом ракурсе поэзию Байрона можно сравнить с мощной энергетической силой музыки Бетховена и Верди. Функция процесса вдохновения заключается в способности гения привлекать психическую энергию к своей задаче. Верди сочинял свои великие оперы, которые по стилю были исключительно энергичны, особенно при возбуждении у героев трагических чувств.

Какова роль в психолого-математической модели обучения психологического типа? На уроке математики все мыслительные типы в сочетании с другими доминирующими функциями непроизвольно и, благодаря волевым усилиям, концентрируют психическую энергию на доминирующем мышлении. Цель доминирующих психических функций не уступать свою позицию архаическим помехам. У мыслительных типов при изучении математики энергия значительна, поэтому потребность к знаниям и их усвоению активна. Среди мыслительных типов есть мнительные пессимисты, есть энергичные оптимисты. Из этих различий следуют различные гипотезы, предвосхищающие ряд событий по окончания урока. Для типов учеников, у которых мышление слабая функция, характерно, они с трудом усваивают программу по математике, так как при энергетически ослабленных психических функциях сосредоточиться им не удается. Но в практической жизни действия этих типов не лишены логики и эти явления мы наблюдаем повседневно.

Все права защищены. Ни одна из частей настоящих произведений не может быть размещена и воспроизведена без предварительного согласования с авторами.

                                                                       Copyright © 2010